什么是线性空间并举例

线性空间是数学中满足八个基本性质的结构，包含向量加法和标量乘法运算。实数集合构成线性空间，加法满足交换律和结合律，乘法有分配律。多项式函数也形成线性空间，两个多项式相加仍是多项式，乘以常数后保持多项式性质。函数集合可以构成线性空间，连续函数的和与标量乘积仍为连续函数。矩阵同样构成线性空间，矩阵加法和数乘矩阵满足封闭性。

线性空间在工程领域有广泛应用。信号处理中，音频信号可表示为向量空间中的点，滤波操作对应线性变换。计算机图形学中，3D模型顶点坐标构成向量空间，旋转缩放等操作通过矩阵乘法实现。机器学习中的特征向量形成高维线性空间，算法在此空间中寻找最佳分类超平面。量子力学中，状态向量构成希尔伯特空间，物理量测量对应线性算子作用。